Resolvendo A Equação Do 2º Grau 4 - 1(x+3)(x-3) E Sua Forma Reduzida

E aí, pessoal! Tudo bem com vocês? Hoje, vamos mergulhar no universo da matemática para desvendar um problema super interessante: como resolver a equação do 2º grau expressa como 4 - 1(x+3).(x-3) e encontrar sua forma reduzida. Se você já se sentiu um pouco perdido diante de equações desse tipo, não se preocupe! Vamos juntos desmistificar esse processo, passo a passo, para que você domine a arte de resolver equações quadráticas.

O Que São Equações do 2º Grau?

Antes de nos aprofundarmos na resolução da nossa equação específica, é fundamental entendermos o que são as equações do 2º grau, também conhecidas como equações quadráticas. Essas equações são expressas na forma geral ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são coeficientes numéricos, com a diferente de zero, e x é a incógnita que queremos encontrar. A beleza das equações do 2º grau reside em sua capacidade de modelar uma ampla gama de fenômenos do mundo real, desde a trajetória de um projétil até o cálculo de áreas e otimizações em diversas áreas do conhecimento.

A característica principal de uma equação do 2º grau é a presença do termo x², que confere à equação sua forma parabólica quando representada graficamente. Essa parábola pode ter diferentes concavidades e posições no plano cartesiano, dependendo dos valores dos coeficientes a, b e c. As soluções de uma equação do 2º grau, também chamadas de raízes, correspondem aos pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Essas raízes podem ser reais e distintas, reais e iguais, ou até mesmo números complexos, dependendo do discriminante da equação, que veremos mais adiante.

Resolver uma equação do 2º grau significa encontrar os valores de x que tornam a igualdade ax² + bx + c = 0 verdadeira. Existem diversas técnicas para realizar essa proeza, desde a fatoração e o completamento de quadrados até o uso da famosa fórmula de Bhaskara, que nos fornece uma solução direta para qualquer equação quadrática. Cada método tem suas vantagens e desvantagens, e a escolha do mais adequado depende da forma da equação e da sua familiaridade com as diferentes abordagens.

Simplificando a Expressão 4 - 1(x+3).(x-3)

Agora, vamos focar na nossa equação específica: 4 - 1(x+3).(x-3). O primeiro passo para resolver essa equação é simplificá-la, eliminando os parênteses e organizando os termos. Para isso, vamos utilizar a propriedade distributiva da multiplicação e a diferença de quadrados, um produto notável que nos diz que (a + b)(a - b) = a² - b². Aplicando essa propriedade ao nosso caso, temos:

4 - 1(x+3).(x-3) = 4 - 1(x² - 3²)

Perceba como a expressão (x+3).(x-3) se transforma em (x² - 3²), que é muito mais simples de lidar. Agora, vamos continuar simplificando:

4 - 1(x² - 9) = 4 - x² + 9

Distribuímos o -1 dentro dos parênteses, lembrando de trocar os sinais dos termos. Agora, basta juntar os termos semelhantes:

4 - x² + 9 = -x² + 13

Chegamos à forma simplificada da nossa expressão: -x² + 13. Essa é a forma que vamos usar para resolver a equação e encontrar os valores de x que a tornam verdadeira.

Encontrando a Forma Reduzida da Equação

Para encontrar a forma reduzida da equação, precisamos igualar a expressão simplificada a zero: -x² + 13 = 0. Essa é a forma padrão de uma equação do 2º grau, onde podemos identificar os coeficientes a, b e c. No nosso caso, temos:

• a = -1
• b = 0 (pois não há termo em x)
• c = 13

Com os coeficientes identificados, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação. Mas antes, vamos calcular o discriminante, que nos dará informações importantes sobre a natureza das raízes.

Calculando o Discriminante

O discriminante, representado pela letra grega Δ (delta), é dado pela fórmula Δ = b² - 4ac. Ele nos diz se a equação tem duas raízes reais e distintas (Δ > 0), uma raiz real (Δ = 0) ou duas raízes complexas (Δ < 0). No nosso caso, temos:

Δ = 0² - 4*(-1)*13 = 0 + 52 = 52

Como o discriminante é positivo, sabemos que a equação tem duas raízes reais e distintas. Agora, podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrá-las.

Utilizando a Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara é uma ferramenta poderosa para resolver equações do 2º grau. Ela nos diz que as raízes da equação são dadas por:

x = (-b ± √Δ) / 2a

Substituindo os valores que encontramos, temos:

x = (0 ± √52) / 2*(-1)

Simplificando a raiz quadrada, √52 = √(4*13) = 2√13, temos:

x = (± 2√13) / -2

Dividindo por -2, encontramos as duas raízes:

x₁ = -√13 x₂ = √13

Portanto, as soluções da equação 4 - 1(x+3).(x-3) = 0 são x = -√13 e x = √13.

Conclusão: Dominando as Equações do 2º Grau

Ufa! Percorremos um longo caminho juntos, desde a simplificação da expressão inicial até a descoberta das raízes da equação. Ao longo dessa jornada, exploramos conceitos importantes como a forma geral de uma equação do 2º grau, o discriminante e a fórmula de Bhaskara. Com esse conhecimento em mãos, você está muito mais preparado para enfrentar qualquer equação quadrática que surgir no seu caminho.

Lembre-se, a chave para dominar as equações do 2º grau é a prática constante. Resolva diversos exercícios, explore diferentes tipos de equações e não tenha medo de errar. Cada erro é uma oportunidade de aprendizado e um passo mais perto da maestria. E aí, preparados para o próximo desafio matemático? Vamos juntos desvendar os mistérios dos números!

E aí, pessoal! Tudo sussa? Se você já se sentiu meio perdido ao tentar resolver uma equação do 2º grau, relaxa! Hoje, vamos simplificar esse processo com um guia prático em 5 passos que vai te deixar craque em equações quadráticas. Preparados para desvendar esse mistério matemático de uma vez por todas?

Passo 1: Identifique a Forma da Equação

O primeiro passo, e talvez o mais crucial, é identificar a forma da equação que você tem em mãos. As equações do 2º grau se apresentam na forma geral ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes numéricos, e x é a nossa querida incógnita. Reconhecer essa forma é fundamental, pois ela nos dá o mapa do tesouro para a solução.

Mas nem sempre as equações vêm mastigadinhas nessa forma. Às vezes, elas se escondem por trás de parênteses, multiplicações e outras operações. Nesses casos, o primeiro passo é simplificar a equação, eliminando os obstáculos e trazendo-a para a forma ax² + bx + c = 0. Isso pode envolver a aplicação da propriedade distributiva, a simplificação de termos semelhantes e outras manobras algébricas. O importante é ter paciência e seguir as regras matemáticas à risca.

Uma vez que a equação está na forma geral, podemos identificar os coeficientes a, b e c com clareza. O coeficiente a é o número que acompanha o termo x², o b acompanha o termo x, e o c é o termo independente, aquele que não tem x por perto. Identificar esses coeficientes corretamente é crucial para os próximos passos, então, preste bastante atenção nessa etapa!

Passo 2: Calcule o Discriminante (Δ)

Agora que já identificamos os coeficientes, vamos para o segundo passo: calcular o discriminante, também conhecido como delta (Δ). Essa é uma ferramenta poderosa que nos dá pistas sobre a natureza das raízes da equação. O discriminante é calculado pela seguinte fórmula:

Δ = b² - 4ac

Essa fórmula pode parecer um bicho de sete cabeças à primeira vista, mas, com um pouco de prática, você vai dominá-la rapidinho. Basta substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula e realizar as operações matemáticas. O resultado desse cálculo nos dirá se a equação tem duas raízes reais e distintas, uma raiz real (ou duas raízes iguais) ou nenhuma raiz real (nesse caso, as raízes são complexas).

Se o discriminante for positivo (Δ > 0), a equação tem duas raízes reais diferentes. Se for igual a zero (Δ = 0), a equação tem uma raiz real (ou duas raízes iguais). E se for negativo (Δ < 0), a equação não tem raízes reais, apenas raízes complexas. Essa informação é valiosa, pois nos ajuda a escolher o método de resolução mais adequado e a interpretar os resultados obtidos.

Passo 3: Escolha o Método de Resolução

Com o discriminante em mãos, podemos escolher o método de resolução mais adequado para a nossa equação. Existem diversas opções, cada uma com suas vantagens e desvantagens. Os métodos mais comuns são:

• Fatoração: Esse método é ideal quando a equação pode ser fatorada facilmente, ou seja, quando podemos escrevê-la como um produto de dois binômios. A fatoração é um método rápido e elegante, mas nem sempre é aplicável.
• Completamento de Quadrados: Esse método é um pouco mais trabalhoso, mas pode ser usado em qualquer equação do 2º grau. Ele consiste em manipular a equação algebricamente para transformá-la em um quadrado perfeito, o que facilita a identificação das raízes.
• Fórmula de Bhaskara: Essa é a fórmula mágica que resolve qualquer equação do 2º grau, independentemente da sua forma. Ela é um pouco mais longa e exige mais cálculos, mas é uma garantia de sucesso. A fórmula de Bhaskara é:

x = (-b ± √Δ) / 2a

A escolha do método depende da sua familiaridade com cada um deles e da forma da equação. Se a equação for facilmente fatorável, a fatoração pode ser a melhor opção. Se você não se sentir confiante na fatoração, o completamento de quadrados ou a fórmula de Bhaskara são alternativas seguras.

Passo 4: Aplique o Método Escolhido

Agora que já escolhemos o método, é hora de colocá-lo em prática! Essa etapa exige atenção e cuidado, pois um pequeno erro de cálculo pode comprometer todo o resultado. Siga as regras matemáticas à risca, faça as operações com calma e confira cada passo para evitar deslizes.

Se você optou pela fatoração, procure identificar os fatores comuns e agrupe os termos de forma inteligente. Se escolheu o completamento de quadrados, siga o passo a passo com atenção, adicionando e subtraindo os termos necessários para formar o quadrado perfeito. E se a fórmula de Bhaskara foi a sua escolhida, substitua os valores dos coeficientes na fórmula e realize os cálculos com precisão.

Durante a aplicação do método, é importante manter a organização e a clareza. Anote cada passo, mostre as passagens e evite pular etapas. Isso facilita a identificação de possíveis erros e torna o processo mais transparente. Lembre-se, a matemática é uma ciência exata, e a precisão é fundamental para o sucesso.

Passo 5: Verifique as Soluções

Parabéns! Você chegou ao último passo: verificar as soluções encontradas. Essa etapa é crucial para garantir que os resultados obtidos são realmente as raízes da equação. Para verificar as soluções, basta substituir cada valor encontrado na equação original e verificar se a igualdade se mantém.

Se a igualdade for verdadeira, a solução está correta. Se a igualdade não se mantiver, é sinal de que houve algum erro no processo de resolução. Nesse caso, revise os passos anteriores com atenção, procurando identificar o erro e corrigi-lo. A verificação das soluções é uma etapa fundamental para garantir a precisão e a confiabilidade dos resultados.

Além de verificar as soluções na equação original, você também pode analisar o gráfico da função quadrática correspondente. As raízes da equação são os pontos onde o gráfico intercepta o eixo x. Se os valores encontrados corresponderem aos pontos de interseção, isso é um indicativo de que as soluções estão corretas.

Conclusão: Equações do 2º Grau Descomplicadas!

E aí, viram só? Resolver equações do 2º grau não precisa ser um bicho de sete cabeças. Com este guia prático em 5 passos, você tem todas as ferramentas necessárias para dominar esse tema da matemática. Lembre-se, a prática leva à perfeição, então, resolva muitos exercícios, explore diferentes tipos de equações e não tenha medo de desafiar seus conhecimentos. Com dedicação e persistência, você vai se tornar um mestre das equações quadráticas!

E aí, pessoal! Cansados de se enrolar com equações do 2º grau? Hoje, vamos pegar na mão de vocês e resolver juntos uma equação que pode parecer um pouco assustadora à primeira vista: 4 - 1(x+3).(x-3). Mas calma, sem pânico! Vamos desmistificar esse problema passo a passo, com uma linguagem clara e um guia completo que vai te transformar em um verdadeiro ninja das equações quadráticas. Preparados para a jornada?

Entendendo o Problema: O Que Temos em Mãos?

Antes de mergulharmos de cabeça nos cálculos, é fundamental entendermos o que a equação 4 - 1(x+3).(x-3) está nos pedindo. Essa é uma equação do 2º grau, também conhecida como equação quadrática, que tem a forma geral ax² + bx + c = 0. Nosso objetivo é encontrar os valores de x que tornam essa igualdade verdadeira, ou seja, as raízes da equação.

A equação que temos em mãos parece um pouco diferente da forma geral, mas não se assuste! O primeiro passo é simplificá-la, eliminando os parênteses e organizando os termos. Para isso, vamos utilizar algumas propriedades matemáticas importantes, como a propriedade distributiva e os produtos notáveis. Mas calma, vamos com calma, um passo de cada vez.

Passo 1: Simplificando a Expressão

O primeiro passo para resolver a equação é simplificar a expressão 4 - 1(x+3).(x-3). Para isso, vamos começar resolvendo o produto (x+3).(x-3). Esse é um caso clássico de produto notável, conhecido como diferença de quadrados. A diferença de quadrados nos diz que:

(a + b)(a - b) = a² - b²

No nosso caso, a é x e b é 3. Então, podemos aplicar a diferença de quadrados e simplificar a expressão:

(x + 3)(x - 3) = x² - 3² = x² - 9

Agora, podemos substituir essa simplificação na equação original:

4 - 1(x+3).(x-3) = 4 - 1(x² - 9)

Em seguida, vamos distribuir o -1 dentro dos parênteses, lembrando de trocar os sinais dos termos:

4 - 1(x² - 9) = 4 - x² + 9

Finalmente, vamos juntar os termos semelhantes:

4 - x² + 9 = -x² + 13

Chegamos à forma simplificada da nossa expressão: -x² + 13. Agora, podemos seguir para o próximo passo: encontrar a forma reduzida da equação.

Passo 2: Encontrando a Forma Reduzida

Para encontrar a forma reduzida da equação, precisamos igualar a expressão simplificada a zero:

-x² + 13 = 0

Essa é a forma padrão de uma equação do 2º grau, onde podemos identificar os coeficientes a, b e c. No nosso caso, temos:

• a = -1
• b = 0 (pois não há termo em x)
• c = 13

Com os coeficientes identificados, estamos prontos para o próximo passo: calcular o discriminante.

Passo 3: Calculando o Discriminante (Δ)

O discriminante, representado pela letra grega Δ (delta), é uma ferramenta poderosa que nos dá informações sobre a natureza das raízes da equação. Ele é calculado pela seguinte fórmula:

Δ = b² - 4ac

Substituindo os valores dos coeficientes que encontramos, temos:

Δ = 0² - 4*(-1)*13 = 0 + 52 = 52

Como o discriminante é positivo (Δ > 0), sabemos que a equação tem duas raízes reais e distintas. Agora, podemos seguir para o último passo: encontrar as raízes utilizando a fórmula de Bhaskara.

Passo 4: Encontrando as Raízes com a Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara é a ferramenta definitiva para resolver equações do 2º grau. Ela nos diz que as raízes da equação são dadas por:

x = (-b ± √Δ) / 2a

Substituindo os valores que encontramos, temos:

x = (0 ± √52) / 2*(-1)

Simplificando a raiz quadrada, √52 = √(4*13) = 2√13, temos:

x = (± 2√13) / -2

Dividindo por -2, encontramos as duas raízes:

x₁ = -√13 x₂ = √13

Portanto, as soluções da equação 4 - 1(x+3).(x-3) = 0 são x = -√13 e x = √13.

Conclusão: Missão Cumprida! Equação Resolvida!

Parabéns, guerreiros da matemática! Chegamos ao fim da nossa jornada e desvendamos a equação 4 - 1(x+3).(x-3). Vimos como simplificar a expressão, encontrar a forma reduzida, calcular o discriminante e utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes. Com esse conhecimento em mãos, vocês estão prontos para enfrentar qualquer equação do 2º grau que aparecer no seu caminho.

Lembrem-se, a chave para o sucesso na matemática é a prática constante. Resolvam muitos exercícios, explorem diferentes tipos de equações e não tenham medo de errar. Cada erro é uma oportunidade de aprendizado e um passo mais perto da maestria. E aí, preparados para o próximo desafio matemático? Vamos juntos conquistar o mundo dos números!